Adrian Józef Galbas urodził się 26 stycznia 1968 r. w Bytomiu. W 1987 r. wstąpił do Stowarzyszenia Apostolstwa Katolickiego (pallotyni). Pierwszą profesję zakonną złożył 29 września 1989 r. W latach 1987–1993 odbył formację seminaryjną w Wyższym Seminarium Duchownym w Ołtarzewie, gdzie złożył śluby wieczyste 10 września 1993 r. w Zakopanem. Święcenia prezbiteratu przyjął 7 maja 1994 r. w Ołtarzewie z rąk abp. Józefa Kowalczyka, nuncjusza apostolskiego w Polsce.

W latach 1994–1995 pełnił posługę wikariusza w parafii św. Michała Archanioła w Łodzi. W latach 1995–1998 studiował teologię i dziennikarstwo na Katolickim Uniwersytecie Lubelskim. W 2012 r. uzyskał doktorat z teologii duchowości na Uniwersytecie Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie na podstawie dysertacji Duchowość komunijna Zjednoczenia Apostolstwa Katolickiego.

W latach 1998–2002 pełnił funkcję prefekta w Wyższym Seminarium Duchownym w Ołtarzewie. W latach 2002–2003 zajmował stanowisko sekretarza ds. Apostolstwa w Częstochowie. W latach 2002–2005 oraz 2008–2011 był radcą w zarządzie Prowincji Zwiastowania Pańskiego pallotynów w Poznaniu. W latach 2003–2011 pełnił posługę proboszcza parafii św. Wawrzyńca w Poznaniu. W latach 2011–2019 sprawował urząd przełożonego (prowincjała) Prowincji Zwiastowania Pańskiego w Poznaniu.

Dnia 12 grudnia 2019 r. papież Franciszek mianował go biskupem pomocniczym diecezji ełckiej ze stolicą tytularną Naissus. Święcenia biskupie przyjął 11 stycznia 2020 r. w Katedrze św. Wojciecha w Ełku. Głównym konsekratorem był bp Jerzy Mazur, biskup diecezjalny ełcki, a współkonsekratorami: abp Salvatore Pennacchio, nuncjusz apostolski w Polsce, oraz abp Józef Górzyński, arcybiskup metropolita warmiński. Jako zawołanie biskupie przyjął słowa Pax Christi (Pokój Chrystusa). W kurii diecezjalnej pełnił funkcje wikariusza generalnego, moderatora kurii i przewodniczącego komisji ds. architektury i sztuki.

Dnia 4 grudnia 2021 r. papież Franciszek przeniósł go na urząd arcybiskupa koadiutora archidiecezji katowickiej. Kanonicznie objął tę funkcję 15 grudnia 2021 r. Od 5 lutego 2022 r. pełnił zarazem funkcję wikariusza generalnego. Po przyjęciu przez papieża rezygnacji abp. Wiktora Skworca, od 31 maja 2023 r. został arcybiskupem metropolitą katowickim. Ingres do Archikatedry Chrystusa Króla w Katowicach odbył 17 czerwca 2023 r. Dnia 29 czerwca 2023 r. odebrał od papieża Franciszka paliusz na Watykanie, który uroczyście nałożono mu 26 listopada 2023 r. w archikatedrze katowickiej.

Dnia 24 października 2023 r. papież Franciszek mianował abp. Adriana Galbasa administratorem apostolskim sede vacante diecezji sosnowieckiej – po przyjęciu rezygnacji dotychczasowego biskupa diecezjalnego, ks. bp. Grzegorza Kaszaka. Arcybiskup podjął to zadanie w posłuszeństwie Kościołowi, stawiając sobie za cel zapewnienie spokojnego i zwyczajnego zarządzania diecezją do czasu mianowania nowego biskupa. Bliska odległość Katowic od Sosnowca sprzyjała regularnej obecności administratora w diecezji.

W swoim pierwszym słowie skierowanym do wiernych diecezji sosnowieckiej (24 października 2023 r.) arcybiskup prosił o modlitwę w intencji wyboru nowego biskupa diecezjalnego, zachęcając wspólnoty życia konsekrowanego, ruchy i stowarzyszenia, a zwłaszcza kapłanów, do szczególnej żarliwości w tej intencji.

W czasie sprawowania urzędu administratora abp Galbas aktywnie wizytował diecezję. W pierwszą niedzielę Adwentu 2023 r. (3 grudnia) przewodniczył uroczystości konsekracji ołtarza w parafii pw. Narodzenia NMP w Brudzowicach.

W dniu 14 stycznia 2024 r. przybył do Sanktuarium NMP Anielskiej w Dąbrowie Górniczej, gdzie wygłosił homilię poruszającą kwestię skandali w tamtejszej parafii. Wyraził publicznie gniew, wstyd i ból z powodu przestępstw popełnionych przez część duchownych, przeprosił wiernych parafii i mieszkańców Dąbrowy Górniczej, potwierdzając pełną współpracę Kościoła z prokuraturą oraz prowadzenie postępowania kanonicznego.

Dnia 23 kwietnia 2024 r., w uroczystość św. Wojciecha, arcybiskup poinformował wiernych diecezji o mianowaniu przez papieża Franciszka ks. bp. Artura Ważnego nowym biskupem sosnowieckim, wyrażając radość z tej decyzji. Funkcję administratora apostolskiego sprawował do 8 maja 2024 r., kiedy diecezję kanonicznie objął nowy pasterz.

Dnia 4 listopada 2024 r. papież Franciszek mianował abp. Adriana Galbasa arcybiskupem metropolitą warszawskim. Kanonicznie objął archidiecezję 14 grudnia 2024 r. i odbył ingres do Bazyliki Archikatedralnej św. Jana Chrzciciela w Warszawie. Dnia 29 czerwca 2025 r. papież Leon XIV nałożył na niego paliusz w Bazylice św. Piotra w Rzymie. W grudniu 2025 r. zapowiedział zwołanie synodu archidiecezjalnego. Od 8 marca 2025 r. pełni ponadto urząd ordynariusza wiernych Kościołów wschodnich w Polsce niemających ordynariusza własnego Kościoła sui iuris.